Question

函数y=

1

x-1

的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于

4

．

Answer 1

分析：y1=

1

x-1

的图象由奇函数y =

1

x

的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y₂=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2

解答：解：函数y₁=

1

x-1

与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，
当1＜x≤4时，y₁≥

1

3

，
而函数y₂在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在(2，

5

2

)上是单调增且为正数函数，
y₂在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在(

5

2

，3)上是单调减且为正数，
∴函数y₂在x=

5

2

处取最大值为2≥

2

3

，
而函数y₂在（1，2）、（3，4）上为负数与y₁的图象没有交点，
所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），
根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（-2，1）上也有两个交点（图中A、B），
并且：x_A+x_D=x_B+x_C=2，故所求的横坐标之和为4，
故答案为：4．

点评：本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合思想，发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y₂=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．