Question

（2012•淮北一模）设函数f(x)=

1+x

1-x

e-ax
（1）写出定义域及f′（x）的解析式，
（2）设a＞O，讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）根据分母不能为0，求出f（x）的定义域，根据求导的乘法法则，对f（x）进行求导；
（2）已知a＞0，利用导数研究函数的单调性，先令f′（x）=0．，求出极值点，从而求解；

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1+x

1-x

e-ax
∴1-x≠0，∴x≠1，
∴f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），
∴f′（x）=e^-ax（-a）×

1+x

1-x

+

1-x-(1+x)×(-1)

(1-x)2

×e^-ax=

ax2+2-a

(1-x)2

e-ax（3分）；
（2）∵a＞O，f（x）=

ax2+2-a

(1-x)2

e-ax
①当0＜a≤2时，f'（x）≥0，所以，f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上为增函数     （5分）
②当a＞2，由f′（x）=

ax2+2-a

(1-x)2

e-ax＞0，得ax²+2-a＞0，
解得，x＞

a-2 a

或x＜-

a-2 a

此f（x）在 x＞

a-2 a

或x＜-

a-2 a

上为增函数；
在(-

a-2 a

，

a-2 a

)上有f′（x）＜0为减函数（12分）
∴综上①②可得：
f（x）在（-∞，

a-2 a

），（

a-2 a

，1），（1，+∞）上为增函数，
在(-

a-2 a

，

a-2 a

)上是减函数（12分）．

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，解此题的关键是对f（x）要正确求导，f（x）的表达式比较复杂，注意计算时要仔细，此题是一道基础题．