Question

抛物线M：y²=2px（p＞0）的准线过椭圆N：

4x2

5

+y²=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．
（Ⅰ）求抛物线M的方程；
（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线CD的斜率．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆N：

4x2

5

+y²=1，
∴c²=a²-b²=

5

4

-1=

1

4

，
∴椭圆的左焦点为F₁（-

1

2

，0），
∴-

p

2

=-

1

2

，则p=1．
故M：y²=2x；
（Ⅱ）由题意知，A（a，2a），
∵|OA|=t，
∴a²+2a=t²．
由于t＞0，故有t=

a2+2a

①
由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，
直线BC的方程为

x

c

+

y

t

=1．
又∵A在直线BC上，故有

a

c

+

2a

t

=1．
将①代入上式，得：

a

c

+

2a

a2+2a

=1，解得c=a+2+

2(a+2)

．
又∵D（a+2，2

2(a+2)

），
∴直线CD的斜率为：
k_CD=

2(a+2)

a+2-c

=

2(a+2)

a+2-(a+2+ 2(a+2) )

=

2(a+2)

- 2(a+2)

=-1．

点评：本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题．