Question

16．如图所示，正方形AEFD边长为4，N是DF中点，BC=BE=2，沿着EF将直角梯形BEFC翻折为直角梯形B₁EFC₁，使AB₁=2$\sqrt{3}$．（2）线段B₁E上是否存在一点M，使FM∥平面AB₁N，若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由；
（3）若平面AB₁N与平面B₁C₁FE交线为B₁P，试求线段C₁F上点P的位置，
并说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出EF⊥AB₁，AB₁⊥B₁E，从而AB₁⊥平面B₁C₁FE，由此能证明平面AB₁N⊥平面B₁C₁FE．
（2）作MH∥AE，由题意H为AB₁中点，连接FM、NH，推导出FM∥NH，由此能求出线段B₁E上中点M，使FM∥平面AB₁NFM∥平面AB₁N．
（3）延长B₁C₁到点G，使C₁G=B₁C₁，连接DG、FG，DG∥AB₁且四边形GFEB₁为矩形，作NQ∥DG，则N、Q、B₁、A四点共面，连接B₁Q交C₁F于点P，P即为所求．

解答 （1）证明：由题意将直角梯形折起，如图，
∵EF⊥AE，EF⊥B₁E，
∴EF⊥平面AB₁E，∴EF⊥AB₁，
又∵B₁E=BE=2，AE=4，AB₁=2$\sqrt{3}$，
∴∠AB₁E=90°，即AB₁⊥B₁E，
∴AB₁⊥平面B₁C₁FE，
∴平面AB₁N⊥平面B₁C₁FE．
（2）解：线段B₁E上存在M，使FM∥平面AB₁N，且M为B₁E中点．
证明如下：
作MH∥AE，由题意H为AB₁中点，连接FM、NH
又∵N是DF中点，∴NF∥$\frac{1}{2}$AE∥MH，
∴四边形NFMH为平行四边形，∴FM∥NH，
∵FM?平面AB₁N，FN?平面AB₁N，
∴FM∥平面AB₁N．
（3）解：延长B₁C₁到点G，使C₁G=B₁C₁，连接DG、FG，
显然DG∥AB₁且四边形GFEB₁为矩形，作NQ∥DG，
∴NQ∥AB₁，∴N、Q、B₁、A四点共面，即Q∈平面AB₁N，
∴B₁Q是平面AB₁N与平面B₁C₁FE交线，
∴连接B₁Q，交C₁F于点P，P点即为所求，
又N是DF中点，∴Q为FG中点，
以下在矩形GFEB₁中讨论点P位置，如图：
作PK⊥B₁G，由题意得GF=2=C₁G，∴PK=KC₁
∴Rt△B₁QG中，$\frac{PK}{GQ}=\frac{{B}_{1}K}{{B}_{1}G}$=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}+K{C}_{1}}{{B}_{1}G}$=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}+PK}{{B}_{1}G}$，
即$\frac{PK}{1}=\frac{2+PK}{4}$，解得PK=$\frac{2}{3}$，
∴Rt△C₁FG中，$\frac{{C}_{1}P}{{C}_{1}F}=\frac{PK}{FG}$=$\frac{1}{3}$，
∴点P为C₁F上三等分点，且近C₁端．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查使FM∥平面AB₁N的点M的位置的确定，考查平面AB₁N与平面B₁C₁FE交线为B₁P时，求线段C₁F上点P的位置，综合性强，难度大，对数学思维要求较高，解题时要注意空间思维能力的培养．