Question

数列{a_n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S_n，且S₉=135，a₃，a₄，a₁₂成等比数列，
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，使仍为数列{a_n}中的一项？若存在，求出满足要求的所有正整数m；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d≠0，则，
∴a₁+4d=15，①
又∵a₃，a₄，a₁₂成等比数列，
∴，即（a₁+3d）²=（a₁+2d）（a₁+11d），
化简，得13d+7a₁=0，②
由①②，得d=7，a₁=-13，
∴a_n=a₁+（n-1）d=7n-20。
（Ⅱ）由于，
∴，
设，则，
即，
又k，m均为正整数，故7必能被7m-13整除，
∴m=2，k=10，
∴存在唯一的正整数m=2。