Question

已知：正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，E为棱BC的中点.

(1)求证：A₁B∥ 面B₁DE；

(2)若底面边长为1，侧棱长为.求AB₁与平面B₁DE所成角.

Answer 1

(1)证明：取AD中点F，连BF、A₁F

则BF∥DE，∴BF∥面B₁DE 

且EFABA₁B₁,∴EFA₁B₁是平行四边形

∴A₁F∥面B₁DE 

∴面A₁FB∥面B₁DE 

∴A₁B∥面B₁DE 

(2)以D₁为原点,D₁A₁为x轴，D₁C₁为y轴,D₁D为z轴建立直角坐标系

则B₁(1,1,0)  E(,1,)  D(0,0,)  A(1,0,) 

∴=(-,0,),=(-1,-1, ).

=(0,-1,) 

设平面B₁DE的法向量n=(1,y,z)

∴

∴n=(1,-,) 

设AB₁与平面B₁DE所成角为θ

则sinθ=

=

= 

∴θ=arcsin. 

(2)另解:设A到面B₁DE的距离为h.

则 

∵S_△ADE=,

B₁B⊥面ADE，且B₁B=.

又在△B₁DE中.

DE=

B₁E=.

B₁D= 

∴cos∠B₁DE=

∴sin∠B₁DE= 

∴=sin∠B₁DE

= 

∴h·1=· 

又AB₁=,设AB₁与平面B₁DE所成的角为θ

则sinθ= 

∴θ=arcsin