Question

在△ABC，AB=AC，点D在边BC上，点P在边AD上，已知BD=2DC，∠ABP=∠CAP．求证：∠CPD=

1

2

∠BAC．

Answer 1

考点：两直线的夹角与到角问题,相似三角形的判定

专题：立体几何

分析：如图所示，建立直角坐标系．不妨设D（4，0），C（6，0），A（3，a）．设

DP

=λ

DA

，可得

BP

=

BD

+λ

DA

=（4-λ，λa）．利用向量计算公式可得k_BP=

λa

4-λ

，k_BA=

a

3

．因此tan∠ABP=

kBA-kBP

1+kBA•kBP

=

4a-4λa

12-3λ+λa2

．同理可得tan∠DAC=

kAC-kAD

1+kACkAD

=

2a

3+a2

，利用∠ABP=∠DAC，可得λ=

2a2-6

3+3a2

．由于
tan∠BAC=-tan2∠ABC=

-2tan∠ABC

1-tan2∠ABC

．tan∠DPC=

kPC-kAD

1+kPC•kAD

=

3

a

．可得tan2∠DPC=

2tan∠DPC

1-tan2∠DPC

．即可证明．

解答： 证明：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设D（4，0），C（6，0），A（3，a）．
设

DP

=λ

DA

，则

BP

=

BD

+λ

DA

=（4-λ，λa）．
∴k_BP=

λa

4-λ

，k_BA=

a

3

．
∴tan∠ABP=

kBA-kBP

1+kBA•kBP

=

4a-4λa

12-3λ+λa2

．
∵k_AC=-

a

3

，k_AD=-a．
∴tan∠DAC=

kAC-kAD

1+kACkAD

=

2a

3+a2

，
∵∠ABP=∠DAC，
∴

4a-4λa

12-3λ+λa2

=

2a

3+a2

，化为λ=

2a2-6

3+3a2

．
tan∠BAC=-tan2∠ABC=

-2tan∠ABC

1-tan2∠ABC

=

6a

a2-9

．
k_PC=

-λa

2+λ

=

3-a2

4a

．
tan∠DPC=

kPC-kAD

1+kPC•kAD

=

3

a

．
∴tan2∠DPC=

2tan∠DPC

1-tan2∠DPC

=

6a

a2-9

．
∴tan2∠DPC=tan∠BAC．
∴∠DPC=

1

2

∠BAC．

点评：本题考查了通过建立直角坐标系利用斜率计算公式、到角公式、正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．