Question

某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．
（1）设商品的销售价每个上涨x（x∈N）元时，利润为y元，试求y关于x的函数关系式，并注明定义域．
（2）作出该函数的图象并求函数的最大值．

Answer 1

分析：（1）设商品的销售价每个上涨x（x∈N₊）元，则商品销售单价为（x+10）元，日销售量应减少10x个，从而可得y关于x的函数关系式；
（2）配方得y=-10（x-4）²+360，其对称轴x=4，开口向下，即可作出该函数的图象并求函数的最大值．

解答：解：（1）设商品的销售价每个上涨x（x∈N₊）元，则商品销售单价为（x+10）元，日销售量应减少10x个，
则有y=（10+x-8）（100-10x）
=-10x²+80x+200
函数的定义域为x∈N₊，
（2）y=-10（x-4）²+360，其对称轴x=4，开口向下，函数在（-∞，4）上单调增，在（4，+∞）上单调减，图象如图：

当x=4时，y最大值为360

点评：本题考查利润、销售量、单价间的关系，将实际问题转化为二次函数的最值问题，应掌握数形结合法求二次函数的最值．