Question

求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)分割

　　在区间[1，2]内等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：[1，]，[，]，…，[，2]，记第i个区间为[](i＝1，2，…，n)，其长度为Δx＝

　　分别过上述n－1个点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如下图)，它们的面积记作ΔS₁，ΔS₂，…，ΔS_n．

　　则小曲边梯形面积的和为S＝．

　　(2)近似代替

　　记f(x)＝，当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)＝的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间上，用小矩形面积Δ近似地代替ΔS_i，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔS_i≈Δ＝f(i＝1，2，…，n)．

　　(3)求和

　　小曲边梯形的面积和S_n＝

　　

　　

　　

　　从而得到S的近似值S＝S_n≈

　　(4)取极限

　　分别将区间[1，2]等分成8，16，20，…等份时，S_n越来越趋向于S，当n趋向于＋∞时，S_n无限趋近于．

　　由此可知图形面积为．

　　分析：利用求曲边梯形面积的步骤逐步求解．

　　绿色通道：本题主要考查曲边梯形面积的求解方法．用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边多边形的面积，它体现了一种化整(分割)为零，积零为整(逼近)的思想方法．