Question

已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,

 (1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；

(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

Answer 1

解析： (1) a1＝, a2＝, a3＝,          

猜测 an＝2－                   

 

(2) ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；        

②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－,      

当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1, 且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak

 ∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

 ∴2ak＋1＝2＋2－,  ak＋1＝2－,                 

即当n＝k＋1时,命题成立.                          

根据①②得n∈N+  , an＝2－都成立