Question

已知a≠0,b≠0,且ab,求证:(a+b)(a-b).

Answer 1

思路解析:此题考查反证法和向量共线的充要条件的证明.要证明两向量不平行,可以先假设平行,然后根据条件推出与已知矛盾的地方,从而否定假设肯定原结论.

证明:设a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂),a+b=(x₁+x₂,y₁+y₂),a-b=(x₁-x₂,y₁-y₂).

假设(a+b)∥(a-b),则(x₁+x₂)(y₁-y₂)-(y₁+y₂)(x₁-x₂)=0,

即x₁y₁+x₂y₁-x₁y₂-x₂y₂-x₁y₁-x₂y₂+x₂y₁+x₂y₂=0.

整理得2(x₂y₁-x₁y₂)=0,

即x₂y₁-x₁y₂=0.

∵a≠0,b≠0,

∴a∥b,这与已知ab矛盾.故(a+b)(a-b).