Question

(1)将正方形的每条边四等分共得12个分点，以这些分点为顶点共可以画出多少个三角形？

(2)有等距离的3条平行线与另外等距离的4条平行线相交，求以这些交点为顶点的三角形的个数．

Answer 1

答案：
解析：

解 (1)解法1 这样的三角形可以分成两类办法画出． 　　①三个顶点分别在正方形的三条边上．这时首先选出正方形的三条边，使三角形的三个顶点分别在这三条边上，共有种方法；然后从每边的三个分点中任取一点，共有种方法．根据乘法原理，共可画出＝108个三角形． 　　②两个顶点在正方形的一条边上，另外一个顶点在正方形另一边上．这时首先选一条边使它上面有三角形的两个顶点，有种选法，同时从这条边的三个分点选两个分点有种方法；然后在其余三边上9点中任选一点，有种方法．根据乘法原理，共可以画出＝108个三角形． 　　最后根据加法原理，总共可以画出三角形108＋108＝216个． 　　解法2 12个点中任取三点的组合数为，其中每边上的三点不能组成三角形，故共可组成三角形－4＝216个． 　　(2)由题设得交点数为＝12．由此可得任选三点种数为．三点共线可分为三类：一是三条等距离直线上的点有×3种；二是四条等距离的直线上有·4种；三是(如图所示)两个平行四边形对角线三点共线有＝4种．∴构成三角形的个数为×4－＝200．