Question

由一个数列中部分项按原来次序排列的数列叫做这个数列的子数列，试在无穷等比数列

1

2

，

1

4

，

1

8

，…中找出一个无穷等比的子数列，使它所有项的和为

1

7

，则此子数列的通项公式为

1

8n

．

Answer 1

分析：设此子数列的首项为a₁=（

1

2

）^m，公比为q=（

1

2

）^r，所有各项之和为

a1

1-q

=

( 1 2 )m

1-( 1 2 )r

=

1

7

，由此能求出此子数列通项公式．

解答：解：∵无穷等比数列

1

2

，

1

4

，

1

8

，…中一个无穷等比的子数列所有项的和为

1

7

，
∴此子数列的首项为a₁=（

1

2

）^m，公比为q=（

1

2

）^r，
所有各项之和为

a1

1-q

=

( 1 2 )m

1-( 1 2 )r

=

1

7

，
整理，得2^m-r（2^r-1）=7，
解得m=r=3．
∴a₁=q=（

1

2

）³=

1

8

，
∴此子数列通项公式为a_n=a₁q^n-1=

1

8n

．
故答案为：a_n=

1

8n

．

点评：本题考查数列通项公式的求法，解题的关键是正确理解子数列的含义，准确设出子数列的首项和公比，知道等比数列中所有各项之和为

a1

1-q

．