Question

7．已知数列{a_n}为等比数列，a₁=3，a₄=81，若数列{b_n}满足b_n=（n+1）log₃a_n，则{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和S_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 利用等比数列的通项公式可得q，a_n．再利用对数的运算性质、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，a₁=3，a₄=81，
∴81=3×q³，解得q=3．
∴a_n=3ⁿ．
数列{b_n}满足b_n=（n+1）log₃a_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．