Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）（n≥2），猜想这个数列的通项公式是a_n=

1

．

Answer 1

分析：由a₁=1，a_n=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）（n≥2），知a2=

1

2

(1+

1

1

)=1，a3= 

1

2

(1+ 

1

1

)=1，猜想a_n=1．再用数学归纳法证明．

解答：解：∵a₁=1，a_n=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）（n≥2），
∴a2=

1

2

(1+

1

1

)=1，
a3= 

1

2

(1+ 

1

1

)=1，
猜想a_n=1．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=1，成立；
②假设n=k时，a_k=1成立，
当n=k+1时，ak+1=

1

2

(ak+

1

ak

)=

1

2

(1+

1

1

)=1，也成立．
由①②，知a_n=1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意递推公式和数学归纳法的合理运用．