Question

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点（0，1），离心率为．
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为C，直线BC与x轴交于点M，当△MAF的面积为，求△MAC的内切圆方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）设椭圆E的方程为：，（a＞b＞0），由椭圆E过点（0，1），离心率为，知，由此能求出椭圆E的方程．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由点A关于x轴的对称点为C，知C（x₁，-y₁），设直线l的方程为y=k（x+1），由，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由此入手能求出△MAC的内切圆方程．
解答：解：（I）设椭圆E的方程为：，（a＞b＞0）
∵椭圆E过点（0，1），离心率为，
∴，解得a²=2，b²=1，
∴椭圆E的方程为：．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点A关于x轴的对称点为C，∴C（x₁，-y₁），
设直线l的方程为y=k（x+1），
由，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴，，
由直线BC的方程为：y-y₂=，
得y=，
令y=0，得x===-2．
∴M（-2，0）．
∵，
得y₁=±1，
∴A（0，1），C（0，-1），或A（0，-1），C（0，1）．
由MF为∠CMA的平分线，设内切圆的圆心P（t，0），（-2＜t＜0）
圆P的方程为（x-t）²+y²=t²，与直线MA，AC相切，
由，得t=，
∴△MAC的内切圆方程为（x-）²+y²=．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形内切圆的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线的距离公式的合理运用．