Question

某次足球赛共有12支球队参加，分三个阶段进行：

（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；

（2）半决赛：甲组的第一名与乙组的第二名，乙组的第一名与甲组的第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场）决出胜者；

（3）决赛：两个胜者参加决赛一场，决出胜负.问全部赛程共需比赛多少场？

Answer 1

思路解析：本题考查利用组合数公式分析解决问题的能力.合理分类是解答本题的关键.

解：（1）小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C=2×=30（场）.

（2）半决赛中甲组第一名与乙组第二名（乙组的第一名与甲组的第二名）主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A=2×1×2=4（场）.

（3）决赛只需比赛一场，即可决出胜负.

所以全部赛程共需比赛30+4+1=35（场）.

方法归纳  明确“怎样才算完成一件事情”是正确解答排列与组合问题的关键.若一个事件恰好与一个排列或一个组合相对应，则所求事件的个数就是排列数或组合数.熟记一些常见的对应则显得尤为关键了.如，一条直线与平面内两个不同的点一一对应；一个平面与不共线的三个点一一对应；一个四面体与不共面的四点一一对应.