Question

7．近年来我国电子商务行业发展迅速，相关管理部门推出了针对电商的商品质量和服务评价的评价体系，现从评价系统中选出某商家的200次成功交易，发现对商品质量的好评率为0.6，对服务评价的好评率为0.75，其中对商品质量和服务评价都做出好评的交易80次．
（1）是否可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品质量与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品质量和服务评价全好评的次数为随机变量X，求X的分布列（可用组合数公式表示）和数学期望．

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k²的值，对应数表得答案；
（2）每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列；利用二项分布的数学期望，求X的数学期望．

解答 解：（1）由题意可得关于商品质量和服务评价的2×2列联表．

	对服务好评	对服务不满意	合计
商品质量好评	80	40	120
商品质量不满意	70	10	80
合计	150	50	200

…（4分）
所以${K^2}=\frac{{200×{{（80×10-40×70）}^2}}}{150×50×120×80}=\frac{100}{9}＞10.828$，
所以，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品质量与服务好评有关．…（6分）
（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为$\frac{2}{5}$，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5．
其中$P（X=0）={（{\frac{3}{5}}）^5}$；$P（X=1）=C_5^1（{\frac{2}{5}}）{（{\frac{3}{5}}）^4}$；$P（X=2）=C_5^2{（{\frac{2}{5}}）^2}{（{\frac{3}{5}}）^3}$；$P（X=3）=C_5^3{（{\frac{2}{5}}）^3}{（{\frac{3}{5}}）^2}$；$P（X=4）=C_5^4{（{\frac{2}{5}}）^4}{（{\frac{3}{5}}）^1}$；$P（X=5）={（{\frac{2}{5}}）^5}$．…（10分）
所以X的分布列为

X	0	1	2	3	4	5
P	${（{\frac{3}{5}}）^5}$	$C_5^1（{\frac{2}{5}}）{（{\frac{3}{5}}）^4}$	$C_5^2{（{\frac{2}{5}}）^2}{（{\frac{3}{5}}）^3}$	$C_5^3{（{\frac{2}{5}}）^3}{（{\frac{3}{5}}）^2}$	$C_5^4{（{\frac{2}{5}}）^4}{（{\frac{3}{5}}）^1}$	${（{\frac{2}{5}}）^5}$

由于X～B（5，$\frac{2}{5}$），所以$EX=5×\frac{2}{5}=2$．…（12分）

点评 本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题．