Question

设关于x的函数f（x）=mx²-（2m²+4m+1）x+（m+2）lnx，其中m为R上的常数，若函数f（x）在x=1处取得极大值0．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点，求实数k的取值范围；
（3）设函数g(x)=(p-2)x+

p+2

x

，若对任意的x∈[1，2]，2f（x）≥g（x）+4x-2x²恒成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，利用函数f（x）在x=1处取得极大值0，可得

f′(1)=0 f(1)=0

，从而可求实数m的值；
（2）由（1）知f′(x)=

(-2x-1)(x-1)

x

，可知函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而当x=1时，函数f（x）取得最大值，进而可知f（x）＜0，从而得当k＜0时，函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点，
（3）构造函数F(x)=2f(x)-g(x)-4x+2x2=2lnx-px-

p+2

x

，对p讨论：p=0与p≠0即可得出结论．

解答：解：（1）f′(x)=2mx-(2m2+4m+1)+

m+2

x

=

(2mx-1)[x-(m+2)]

x

因为函数f（x）在x=1处取得极大值0
所以，

f′(1)=2m-(2m2+4m+1)+m+2=-2m2-m+1=0 f(1)=m-(2m2+4m+1)=-2m2-3m-1=0

解m=-1
（2）由（1）知f′(x)=

(-2x-1)(x-1)

x

，令f'（x）=0得x=1或x=-

1

2

（舍去）
所以函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
所以，当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=ln1-1+1=0
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0
所以，当k＜0时，函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点，
（3）设F(x)=2f(x)-g(x)-4x+2x2=2lnx-px-

p+2

x

F′(x)=

2

x

-p+

p+2

x2

=

-px2+2x+(p+2)

x2

当p=0时，F′(x)=

2x+2

x2

＞0，F（x）在[1，2]递增，F（1）=-2＜0不成立，（舍）
当p≠0时F′(x)=

-p(x+1)(x- p+2 p )

x2

当1+

2

p

＜-1，即-1＜p＜0时，F（x）在[1，2]递增，F（1）=-2p-2＜0，不成立
当-1＜1+

2

p

≤1，即p＜-1时，F（x）在[1，2]递增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，所以，此时p＜-1
当p=-1时，F（x）在[1，2]递增，成立；
当p＞0时，F（1）=-2p-2＜0不成立，
综上，p≤-1

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的极值，同时考查利用导数求函数的单调性，有一定的难度．