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如图所示,将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中,已知AB=OB=1,AB⊥OB,点P是三角板内一点,现因三角板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分锯掉,可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN.问:
(1)求直线MN的方程
(2)求点M,N的坐标
(3)应如何确定直线MN的斜率,可使锯成的△AMN的面积最大?

【答案】分析:(1)依题意得直线MN过点P且其斜率存在,由直线的点斜式方程可写出答案;
(2)根据题意,M为OA与MN的交点,N为AB与MN的交点,易得OA、OB的方程,由(1)中所得的MN的方程,结合两直线交点的求法,联立直线的方程,易得M、N的坐标;
(3)先根据三角形面积公式写出S△AMN关于k的关系式,设t=1-k,则,转化为求f(t)的最大值问题,用作差法判断出f(t)在是增函数,即t=时,f(t)取得最大值,将t=代入f(t)中,可得答案.
解答:解:(1)依题意得直线MN过点P且其斜率存在,则MN方程为:
(2)∵AB⊥OB,|AB|=|OB|=1,
∴直线OA方程为:y=x 直线AB方程为:x=1,
,可得
,可得k≥1或k≤
又由
可得k≤


(3)S△AMN==

时,f(t1)-f(t2)==
,∴t1t2>0,t1-t2<0,4t1t2-1>0,
∴f(t1)-f(t2)<0,即f(t1)<f(t2).
∴f(t)在是增函数,
∴当时,,即当1-k=时即k=时,
S△max=
点评:本题考查直线方程的运用,解(3)题时,注意先转化问题,结合函数的性质,通过求函数的最大值的方法,求出答案.
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1
2
1
4
)
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