Question

C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁F₂左右焦点，离心率为

1

2

，F₁到点（2，1）距离

10

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F₂斜率为k（k不等于0）直线l与C交于EF两点，A为C右顶点，直线AE，AF交直线x=4于MN两点，过F₂作直线l′，l′⊥l，求证直线l′过MN的中点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b．
（Ⅱ）由题意得直线l、l′的方程，把直线l和椭圆方程联立后利用根与系数关系求得E，F两点的横坐标的和与积，写出AE和AF的方程，取x=4求得点M、N的坐标，再由中点坐标公式求出点P的坐标，利用韦达定理化简P的纵坐标，把x=4代入l′的方程右边，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：因为左焦点F₁（-c，0）到点M（2，1）的距离为

10

，
所以

(-c-2)2+1

=

10

，解得c=1或c=-5（舍去），
由椭圆的离心率为

1

2

得，

c

a

=

1

2

，则a=2，即b²=a²-c²=3，
所求椭圆C的标准方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）证明：设点E（x₁，y₁），点F（x₂，y₂），
由题意得过右焦点F₂（1，0）的直线l方程为：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得，（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
又右焦点F₂（1，0）在椭圆内，则直线l和椭圆都相交，△＞0恒成立，
且x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x₁x₂=

4k2-12

4k2+3

，
因为A（2，0），所以直线AE的方程为：y=

y1

x1-2

，
直线AF的方程为：y=

y2

x2-2

，
令x=4代入AE、AF的方程得，点M（4，

2y1

x1-2

）、N（4，

2y2

x2-2

），
所以线段MN的中点P的坐标是（4，

1

2

（

2y1

x1-2

+

2y2

x2-2

）），
又

1

2

（

2y1

x1-2

+

2y2

x2-2

））=

y1(x2-2)+y2(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

k(x1-1)(x2-2)+k(x2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-1)

=

k[2x1x2-3(x1+x2)+4]

x1x2-2(x1+x2)+4

=

k(2× 4k2-12 4k2+3 -3× 8k2 4k2+3 +4)

4k2-12 4k2+3 -2× 8k2 4k2+3 +4

=

k[2(4k2-12)-3×8k2+4(4k2+3)]

4k2-12-2×8k2+4(4k2+3)

=-

3

k

，
因为过点F₂与直线l垂直的直线l′方程是y=-

1

k

（x-1），
所以把x=4代入右边得，y=-

3

k

，
则点P的坐标是（4，

1

2

（

2y1

x1-2

+

2y2

x2-2

））满足直线l′方程是y=-

1

k

（x-1），
所以直线l′过线段MN的中点．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，直线方程等基础知识与基本技能方法，要求考生具备较强的运算推理的能力，是高考试卷中的压轴题．