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(2012•开封一模)(选做题)已知函数f(x)=|x-a|.
(Ⅰ)若不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥5},求实数a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若f(x)+f(x+4)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(Ⅰ)求出不等式f(x)≥3的解集,和已知的解集作对比,从而求得实数a的值.
(Ⅱ)设g(x)=f(x)+f(x+4)=|x-2|+|x+2|,表示数轴上的x对应点到2和-2对应点的距离之和,它的最小值
为4,从而求得实数m的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)由不等式f(x)≥3可得|x-a|≥3,解得 x≤a-3,或x≥a+3.
再由f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥5},可得a-3=-1,a+3=5,解得a=2.
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+4),
则g(x)=|x-2|+|x+2|,表示数轴上的x对应点到2和-2对应点的距离之和,它的最小值为4,
若f(x)+f(x+4)≥m对一切实数x恒成立,应有4≥m.
故实数m的取值范围为(-∞,4].
点评:本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了化归与转化的数学思想,属于中档题.
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