Question

把函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移

π

6

个单位后得到偶函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x-

π

12

）-g（x）的单调增区间．

Answer 1

（I）把函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移

π

6

个单位后得到：
g（x）=2sin[2（x+

π

6

）+φ]的图象，
∵函数g（x）为偶函数，
故当x=0时，2×

π

6

+φ=

π

2

+kπ，即φ=

π

6

+kπ，k∈Z，
又∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

6

，
（II）由（I）得：f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴f（x-

π

12

）=2sin2x
g（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x，
∴h（x）=f（x-

π

12

）-g（x）=2sin2x-2cos2x=2

2

sin（2x+

π

4

），
由2x+

π

4

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]得：x∈[-

3π

8

+2kπ，

π

8

+2kπ]，（k∈Z），
故函数h（x）=f（x-

π

12

）-g（x）的单调增区间为[-

3π

8

+2kπ，

π

8

+2kπ]，（k∈Z）