Question

（文科）对于二项式（

1

x

+x3）ⁿ（n∈N^*），4位同学作出了4种判断：①存在n∈N^*，使展开式中没有常数项；②对任意n∈N^*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N^*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N^*，使展开式中有x的一次项．上述判断中正确的是

①④

．

Answer 1

分析：利用其项T_r+1=

C

r n

•x^4r-n对①②③④逐个分析，即可得到答案．

解答：解：设二项式（

1

x

+x3）ⁿ（n∈N^*）的通项为T_r+1，
则T_r+1=

C

r n

•x^r-n•x^3r=

C

r n

•x^4r-n．
显然存在1∈N^*，使展开式中没有常数项；故①正确；
不妨令n=4，r=1，展开式中有常数项，故②错误；
再令n=3，r=1，则T₂=

C

1 3

x=3x，故③错误，而④正确．
综上所述，判断中正确的是①④．
故答案为：①④．

点评：本题考查二项式定理，关键在于合理利用其通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．