Question

已知：F₁，F₂为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点，点A为椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限），

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

|，|

AB

|=

10

．
（1）求此椭圆的方程．
（2）若P、Q是椭圆上的两点，并且满足(

CP

| CP |

+

CQ

| CQ |

)•

F1F2

=0，求证：向量

PQ

与

AB

共线．

Answer 1

分析：（1）设|AC|=m，|BC|=2m，根据|

AB

|=

10

，

AC

•

BC

=0，计算|AC|，利用△COA是等腰直角三角形，可得a²=4，C（1，1）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得b2=

4

3

，从而可求椭圆的方程；
（2）设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，由

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3y2 4 =1

得（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，从而可求PQ的斜率，利用kAB=

1

3

，所以PQ与AB平行，所以

PQ

与

AB

共线．

解答：（1）解：设|AC|=m，|BC|=2m
∵|

AB

|=

10

，

AC

•

BC

=0，
∴m²+4m²=10
∴m=

2

∵△COA是等腰直角三角形
∴a²=4，C（1，1）
代入

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得b2=

4

3

∴椭圆的方程为

x2

4

+

3y2

4

=1
（2）证明：设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，
由

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3y2 4 =1

得（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
∴1×xp=

3k2-6k-1

3k2+1

，
∴xp=

3k2-6k-1

3k2+1

，
同理xQ=

3k2+6k-1

3k2+1

，
∴kPQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

k(xP-1)+1+k(xQ-1)-1

xP-xQ

=

k(xP+xQ-2)

xP-xQ

=

1

3

而kAB=

1

3

，所以PQ与AB平行，所以

PQ

与

AB

共线．

点评：本题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．