Question

右图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．
（I）在正视图右侧，按照画三视图的要求画出该几何体的侧视图；
（II）在所给直观图中连接BD，证明BD∥面PEC；
（III）按照给出的尺寸，求该几何体的体积．

Answer 1

分析：（I）在正视图右侧，直接按照画三视图的要求画出该几何体的侧视图；
（II）在所给直观图中连接BD，要证BD∥面PEC，只需取PC的中点M，设AC与BD的交点为N，连接MN、ME，证明EM∥BN，就是EM∥BD，然后说明BD∥面PEC；
（III）按照给出的尺寸，几何体的体积转化为两个棱锥V_C-ABEP，V_P-ACD的体积的和．

解答：解（I）如图所示．
（II）证明，取PC的中点M，设AC与BD的交点为N，连接MN、ME，∵PM=CM，AN=CN∴MN=

1

2

PA，MN∥PA
∴MN=EB，MN∥EB，故BEMN为平行四边形．
∴EM∥BN，又EM?平面PEC，BD?面PEC，∴BD∥平面PEC．
（III）V=VC-ABEP+VP-ACD=

1

3

×

1

2

×(2+4)×4×4+

1

3

×

1

2

×4×4×4=

80

3

点评：本题是中档题，考查几何体的三视图的画法，直线与平面平行的证明方法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，逻辑推理能力；注意三视图的画图的要求等等．