Question

4．已知实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≤x}\\{2x+y-9≤0}\end{array}\right.$时，所表示的平面区域为D，则z=x+3y的最大值等于12，若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则a的取值范围是a$≤\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案；再由直线y=a（x+1）过定点（-1，0），结合图象求得a的取值范围．

解答 解：由约束条件作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-9=0}\end{array}\right.$，解得A（3，3），
化目标函数z=x+3y为$y=-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$，
由图可知，当直线$y=-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$过A（3，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为12；
∵直线y=a（x+1）过定点（-1，0），要使直线y=a（x+1）与区域D有公共点，
则a≤k_MA=$\frac{3-0}{3-（-1）}=\frac{3}{4}$．
故答案为：12；$a≤\frac{3}{4}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．