Question

已知f（x）=2x³-6x²+a（a为常数）在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的值域是（　　）

A．[-37，3]

B．[-29，3]

C．[-5，3]

D．以上都不对

Answer 1

分析：先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间（-2，2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出a，通过比较两个端点-2和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．

解答：解：由已知，f′（x）=6x²-12x，由6x²-12x≥0得x≥2或x≤0，
因此当x∈[2，+∞），（-∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
又因为x∈[-2，2]，
所以得，当x∈[-2，0]时f（x）为增函数，
在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
所以f（x）_max=f（0）=a=3，故有f（x）=2x³-6x²+3
所以f（-2）=-37，f（2）=-5
因为f（-2）=-37＜f（2）=-5，所以函数f（x）的最小值为f（-2）=-37．
从而值域为[-37，3]
故选A

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，属于基础