Question

已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出圆的一般式方程，表示出圆心坐标，把圆心坐标代入到直线x+2y+1=0中得到一个关于D，E及F的方程，然后把M与N的坐标代入所设的圆的方程，得到两个关于E，F及D的方程，三个方程联立即可求出D，E及F的值，确定出圆C的方程；
（2）利用反证法，先假设满足题意得点存在，根据线段垂直平分线的性质得到圆心C必然在直线l上，由点C与点P的坐标求出直线PC的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出直线AB的斜率，进而求出实数a的值，然后由已知直线ax-y+1=0，变形得到y=ax+1，代入（1）中求出的圆C的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个交点，得到根的判别式大于0，即可求出a的取值范围，发现求出的a的值不在此范围中，故假设错误，则不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB．
解答：解：（1）设圆C的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0
则有（2分）
解得（4分）
∴圆C的方程为：x²+y²-6x+4y+4=0；（5分）
（2）设符合条件的实数a存在，
由于l垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在l上．
所以l的斜率k_PC=-2，
而，所以．（7分）
把直线ax-y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，
消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直线ax-y-1=0交圆C于A，B两点，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，
即-2a＞0，解得a＜0．
则实数a的取值范围是（-∞，0）．（9分）
由于，假设错误，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB．（10分）
点评：此题考查了利用待定系数法求圆的一般式方程，垂直平分线的性质及方程与函数的综合．此题第二问利用的方法是反证法，此方法的步骤为：先否定结论，然后利用正确的推理得出与已知，定理及公理矛盾，得到假设错误，故原结论成立．