Question

如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

Answer 1

解：
（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，
∴BC⊥AC．
又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．
∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）解：平面PAC⊥平面ABCD；
平面PAC⊥平面PBC；
平面PAD⊥平面PBD；
平面PAB⊥平面ABCD；
平面PAD⊥平面ABCD．
分析：对于（1），要证明平面PAC⊥平面PBC，只需证明平面PBC内的一条直线与平面PAC垂直即可，而根据条件，可以得到BC⊥PA，BC⊥AC，从而得到BC⊥平面PAC，由面面垂直的判定可得证；
对于（2），在（1）的条件下，可以找到几对相互垂直的平面，由于D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，同理可以证明面面垂直，从而找到所有相互垂直的平面共5对．
点评：本题考查面面垂直的判定，要注意转化为线面垂直来进行证明，体会立体几何中降维思考．