Question

给出下列三个命题：
①函数y=

1

2

ln

1-cos x

1+cos x

与y=lntan

x

2

是同一函数；
②若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（2x）与y=

1

2

g（x）的图象也关于直线y=x对称；
③如图，在△ABC中，

AN

=

1

3

NC

，P是BN上的一点，若

AP

=m

AB

+

2

11

AC

，则实数m的值为

3

11

．
其中真命题是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．②

Answer 1

分析：①分别求出两个函数的定义域，利用定义域和对应法则进行判断．②根据函数关于直线y=x对称的性质进行判断．③利用向量共线的共线定理以及平面向量的定理进行判断．

解答：解：①要使函数y=

1

2

ln

1-cos x

1+cos x

有意义，则

1-cos x

1+cos x

＞0，即（1+cosx）（cosx-1）＜0，解得-1＜cosx＜1，
∴x≠kπ，k∈Z，要使y=ln tan

x

2

有意义，则tan

x

2

＞0，即kπ＜

x

2

＜kπ+

π

2

，解得2kπ＜x＜2kπ+π，两个函数的定义域不同，∴不是同一函数，即①错误．
②∵函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，∴设（x，y）是y=f（2x）上的点，则2x=g（y），即x=

1

2

g(y)，即数y=f（2x）关于y=x对称函数为y=

1

2

g(x)，∴②正确．
③∵

AN

=

1

3

NC

，

AP

=m

AB

+

2

11

AC

，设

BP

=λ

BN

，则

AP

=

AB

+

BP

=

AB

+λ

BN

=

AB

+λ(

AN

-

AB

)=(1-λ)

AB

+

λ

4

AC

，
∵

AP

=m

AB

+

2

11

AC

，
∴m=1-λ，且

λ

4

=

2

11

，解得λ=

8

11

，m=

3

11

．∴③正确．
故选：C．

点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点有函数的性质，平面向量的向量分解，综合性较强．