Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）若对任意x∈[1，4]时，不等式f（x²+2）＜f（ax）都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令m=1，n=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再结合当x＞0时，0＜f（x）＜1．得出f（0）=1
（2）设x₁＞x₂，由已知得出f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂ ）•f（x₂），且能得出0＜f（x₁-x₂）＜1，确定出f（x₁）＜f（x₂）后即可判断出函数f（x）在R上单调递减．
 （3）由（2），不等式化为x²+2＞ax，利用分离参数的方法得出即a＜x+

2

x

对x∈[1，4]恒成立，a＜(x+

2

x

)min   求出y=x+

2

x

在[1，4]上的最小值后便可求出a的取值范围．

解答：解：（1）令m=1，n=0则f（1）=f（1）•f（0）又0＜f（1）＜1∴f（0）=1
（2）设x＜0则-x＞0∴0＜f（-x）＜1而f(x)=

f(0)

f(-x)

=

1

f(-x)

∴f（x）＞1即对任意x∈R有f（x）＞0
设x₁＞x₂则  x₁-x₂＞0，∴0＜f（x₁-x₂）＜1
于是，

f(x1)

f(x2)

=f(x1-x2)＜1∴f（x₁）＜f（x₂）
所以，函数f（x）在R上单调递减．
（3）∵f（x）在R上单调递减∴f（x²+2）＜f（ax）?x²+2＞ax
则不等式x²-ax+2＞0对x∈[1，4]恒成立  即a＜x+

2

x

对x∈[1，4]恒成立∴a＜(x+

2

x

)min而y=x+

2

x

在[1，4]上的最小值为2

2

所以，a＜2

2

．

点评：本题考查抽象函数求函数值、单调性的判定、及单调性的应用，考查转化、分离参数的思想方法．牢牢把握所给的关系式，对式子中的字母准确灵活的赋值，变形构造是解决抽象函数问题常用的思路．