Question

已知复数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，|z1-z2|=

2

5

5

．
求：（1）求cos（α-β）的值；
（2）若-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，且sinβ=-

5

13

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）利用复数的模化简|z1-z2|=

2

5

5

，再结合三角函数的同角关系以及和角公式即可得到．
（2）欲求sinα的值，将sinα写成sin[（α-β）+β]的形式展开，给合（1）中结论即可求得．

解答：解：（1）∵z₁-z₂=（cosα-cosβ）+i（sinα-sinβ），|z1-z2|=

2

5

5

，
∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

2 5

5

，
∴cos（α-β）=

2- 4 5

2

=

3

5

．
（2）∵-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，∴0＜α-β＜π，
由（1）得cos（α-β）=

3

5

，
∴sin（α-β）=．又sinβ=-

5

13

，
∴cosβ=

12

13

．
∴sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=

4

5

×

12

13

+

3

5

×(-

5

13

)=

33

65

．

点评：三角变换中的角的变换，在本题中显得尤为突出，将单角化为复角，对字母角度的α=（α-β）+β，巧妙拼凑，使得问题顺利解决．