Question

有一个倒放着的轴截面为正三角形的圆锥形容器，内盛有高为h的水，放入一铁球后，上升的水面恰好和球面相切，求球面上的点到圆锥顶点的最小距离．

Answer 1

答案：略
解析：

解：如图是容器的轴截面△VGH，它截球O所得的截面为圆O，截水平面得到交线DE． 于是△VDE是正三角形，且圆O是△VDE的内切圆，其中A、C是切点． 连结VC，显然，OV与圆O相交于B． 在球面任选一个异于B的点． 在△中， ∵， 即，且． ∴． ∴VB的长度是球面上的点到圆锥顶点的最小距离． 设球O的半径为R． 在Rt△VOA中，∵∠OVA=30°，∠OAV=92°， ∴VO=2×OA=2R，∴VC=3R，． ∴圆锥VC的体积等于． 球O的体积为． 设起始的水平线和圆锥轴截面的交线为MN． ，则，． 水的体积为． 依题意，有． 解之，得，． ∵VB=R， ∴球面上的点到圆锥顶点的最短距离等于．