Question

已知圆锥的母线与轴线的夹角为α,圆锥嵌入半径为R的Dandelin球,平面π与圆锥面的交线为抛物线,求抛物线的焦点到准线的距离.

图3-10

Answer 1

解析:设F为抛物线的焦点,A为顶点,FA的延长线交准线m于B,AF的延长线与PO交于点C.

连结OF、OA.

∵平面π与圆锥轴线和圆锥母线与轴线夹角相等,

∴∠APC=∠ACP=α.

由切线长定理知OA平分∠PAC,

∴OA⊥PC.

∴∠OCA+∠OAC=90°,

∠AOF+∠OAC=90°.

∴∠OCA=∠AOF=α.

在Rt△OAF中,

AF=OF·tan∠AOF=Rtanα.

又由抛物线结构特点,

∴AF=AB.

∴FB=2Rtanα,即抛物线的焦点到准线的距离为2Rtanα.