Question

定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且

AM

=2

MB

．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设过F(0，

3

)且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，0），B（0，y₁），M（x，y），则

x= x1 3 y= 2y1 3

，由此能求出点M的轨迹C的方程．
（2）设满足条件的点D（0，m），设l的方程为：y=kx+

3

，(k≠0)，代入椭圆方程，得(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=-

2 3 k

k2+4

，y1+y2=k(x1+x2)+2

3

=

8 3

k2+4

．由以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，知(

DA

+

DB

)  ⊥

AB

，由此能导出存在满足条件的点D．

解答：解：（1）设A（x₁，0），B（0，y₁），M（x，y）
则

x= x1 1+2 y= 2y1 1+2

∴

x1=3x y1= 3 2 y

，|AB|=3=

(3x)2+( 3 2 y)2

即：

y2

4

+x2=1
（2）存在满足条件的D点．设满足条件的点D（0，m），
则(0≤m≤

3

)，设l的方程为：y=kx+

3

，（k≠0），代入椭圆方程，
得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

2 3 k

k2+4

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

3

=

8 3

k2+4

．∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
∴(

DA

+

DB

)  ⊥

AB

，

DA

+

DB

=(x1，y1-m)  +(x2，y2-m)=(-

2 3 k

k2+4

，

8 3

k2+4

-2m)，

AB

的方向向量为（1，k），(

DA

+

DB

)  •

AB

=0，
∴-

2 3 k

k2+4

+

8 3 k

k2+4

-2mk=0即m=

3 3

k2+4

∵k²＞0，∴m=

3 3

k2+4

＜

3 3

4

＜

3

，∴0＜m＜

3

，∴存在满足条件的点D．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．