Question

如图，抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的焦点为F，椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，C₁与C₂在第一象限的交点为P（

3

，

1

2

）
（1）求抛物线C₁及椭圆C₂的方程；
（2）已知直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C₂交于不同两点A、B，点M满足

AM

+

BM

=

0

，直线FM的斜率为k₁，试证明k•k₁＞

-1

4

．

Answer 1

分析：（1）借助于抛物线过点P，先求抛物线方程，再利用离心率e=

3

2

，求椭圆方程；
（2）点M满足

AM

+

BM

=

0

，等价于点M为线段AB的中点，从而表达出斜率，再进行证明．

解答：解：（1）将P（

3

，

1

2

）代入x²=2py得p=3，∴抛物线C₁的方程为x²=6y，焦点F（0，

3

2

）
把P（

3

，

1

2

）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得

3

a2

+

1

4b2

=1，又e=

3

2

，∴a=2，b=1故椭圆C₂的方程为

x2

4

+

y2

1

=1
（2）由直线l：y=kx+t与

x2

4

+

y2

1

=1联立得（1+4k²）x²+8ktx+4（t²-1）=0，△＞0得1+4k²＞t²
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x1+x2=

-8kt

1+4k2

由题意点M为线段AB的中点，设M（x_M，y_M），
∴xM=

-4kt

1+4k2

，yM=

t

1+4k2

，
∴k1=

2t-3(1+4k2)

-8kt

∴kk1＞

3t2-2t

8t

=

3t -2

8

＞-

1

4

点评：本题主要考查圆锥曲线相交，求圆锥曲线问题，利用了待定系数法，同时考查了直线与曲线相交问题，利用设而不求法进行证明．