Question

设F₁、F₂分别是双曲线-=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点,点P在双曲线的左支上,点M在双曲线的右准线上,O为坐标原点.

(1)若|OM|=|F₂M|,

①求双曲线的渐近线方程;

②证明此双曲线上任意一点到其两条渐近线的距离之积为.

(2)若四边形OMPF₁是菱形,Q为双曲线右支上一点,且△F₁F₂Q的面积为,求|OQ|的最小值.

Answer 1

(1)①解：因为|OM|=|F₂M|,

所以c=2,即c²=2a².

又c²=a²+b²,

所以a=b,双曲线的渐近线方程为y=±x.

②证明：此时双曲线方程为x²-y²=a²,设Q(x₁,y₁)为双曲线上任意一点,则x₁²-y₁²=a²,则它到两条渐近线的距离分别为d₁=,d₂=.

所以d₁d₂==.

(2)解：因为四边形OMPF₁是菱形,

所以|PF₁|=|PM|=|OF₁|=c.

所以P到左准线的距离d=c-2.

所以=e,即de=(c-2)e=c.

整理得e²-e-2=0.

解之,得e=2.

此时b²=3a²,双曲线方程为-=1.

设Q(x₀,y₀)(x₀＞0),则-=1.                                        ①

因为△F₁F₂Q的面积为,所以c·|y₀|=,y₀²==.     ②

将②代入①,得x₀²=a²+.

所以|OQ|²=a²+.

所以|OQ|²≥2,此时a=1,即|OQ|的最小值为.