Question

用0，1，2，3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？（以上各问均用数字作答）

Answer 1

分析：（1）由题意符合要求的四位偶数可分为三类：0在个位，2在个位，4在个位，对每一类分别计数再求它们的和即可得到无重复数字的四位偶数的个数；
（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数与个位数字是5的五位数，分类计数再求它们的和；
（3）由题意，符合要求的比1325大的四位数可分为三类，第一类，首位比1大的数，第二类首位是1，第二位比三大的数，第三类是前两位是13，第三位比2大的数，分类计数再求和．

解答：解：（1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有A₅³个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有A₄¹种），十位和百位从余下的数字中选（有A₄²种），于是有

A

1 4

?

A

2 4

个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有

A

1 4

?

A

2 4

个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数：

A

3 5

+

A

1 4

?

A

2 4

+

A

1 4

?

A

2 4

=156个．--------------（4分）
（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A₅⁴个；个位数上的数字是5的五位数有

A

1 4

?

A

3 4

个．故满足条件的五位数的个数共有

A

4 5

+

A

1 4

?

A

3 4

=216个．------------（8分）
（3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共

A

1 4

?

A

3 5

个；
第二类：形如14□□，15□□，共有

A

1 2

?

A

2 4

个；
第三类：形如134□，135□，共有

A

1 2

?

A

1 3

个；
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：

A

1 4

?

A

3 5

+

A

1 2

?

A

2 4

+

A

1 2

?

A

1 3

=270个．---（12分）

点评：本题考查分类计数及简单计数问题，解题的关键是理解所研究的事件，对计数问题分类计数，本题考查了分类讨论的思想，以及运用排列组合数公式进行计算的能力，本题是计数问题中运算量较大的题，要注意准确运用分类原理与分步原理计数