Question

如图，单位圆O中，

OA

，

OB

是两个给定的夹角为120°的向量，P为单位圆上一动点，设

OP

=m

OA

+n

OB

，则设m+n的最大值为M，最小值为N，则M-N的值为（　　）

• A．2
• B．2

  2

• C．4
• D．2

  3

Answer 1

分析：根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则向量

OC

=(cosα，sinα)，且

OC

=m

OA

+n

OB

，由向量相等，得m，ny的值，从而求得m+n的最值．

解答：解：建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（-

1

2

，

3

2

）． 
设∠AOC=α，则

OC

=（cosα，sinα）．∵

OC

=m

OA

+n

OB

=（m，0）+（-

n

2

，

3

2

n）=（cosα，sinα），α∈[0，2π）．
n∴

m- n 2 =cosα 3 2 n=sinα

，∴

m= sinα 3 + cosα n= 2sinα 3

，∴m+n=

3

sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤360°．∴30°≤α+30°≤450°，故当α=60°时，m+n有最大值2；当α=240°时，m+n有最小值为-2，
∴M=2，N=-2．∴M-N=4，
故选：C．

点评：本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，容易求出结果．