Question

（2012•茂名二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，点D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED
（1）求证：BD⊥平面POA
（2）设AO∩BD=H，当O为CH中点时，若点Q满足

AQ

=

QP

，求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由菱形的性质可得BD⊥AO，再利用面面垂直的性质可得PO⊥平面ABFED，得到PO⊥BD，进而得到结论；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得出．

解答：（1）证明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD，
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．
（2）由（1）可知：AC⊥BD，
∵∠DAB=60°，BC=4，∴BH=2，CH=2

3

．
∵O为CH的中点，∴PO=

3

．
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz．则O（0，0，0），A(3

3

，0，0)，
B(

3

，2，0)，D(

3

，-2，0)，P(0，0，

3

)．
∴

PB

=(

3

，2，-

3

)，

BD

=(0，-4，0)．
由

AQ

=

QP

，得Q为AP的中点．
∴Q(

3 3

2

，0，

3

2

)．∴

OQ

=(

3 3

2

，0，

3

2

)．
设平面PBD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • PB =0 n • BD =0

得

3 x+2y- 3 z=0 -4y=0

，取x=1，得y=0，z=1．
∴

n

=(1，0，1)．
设直线OQ与平面PBD所成的角为θ．
则sinθ=|cos＜

OQ

，

n

＞|=

| n • OQ |

| n | | OQ |

=

| 3 3 2 + 3 2 |

( 3 3 2 )2+( 3 2 )2

=

2 5

5

．
因此直线OQ与平面PBD所成的角的正弦值为

2 5

5

．

点评：熟练掌握菱形的性质、面面垂直的性质、线面垂直的判定定理、通过建立空间直角坐标系利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角求线面角是解题的关键．