Question

已知不过坐标原点O的直线L与抛物线y²=2x相交于A、B两点，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求证：直线L过定点；
②求点E的轨迹方程．

Answer 1

分析：①令直线ty=x-b（b≠0），与抛物线方程y²=2x联立得：y²-2ty-2b=0，利用韦达定理可得y₁+y₂=2ty₁y₂=-2b，结合OA⊥OB即可求得b的值，从而可证直线L过定点；
②依题意，可知点E的轨迹是以线段OC为直径的圆除去点O，从而可得点E的轨迹方程．

解答：解：①令直线ty=x-b（b≠0）与抛物线y²=2x相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点（给直线方程给分）…（1分）
由

ty=x-b y2=2x

得：y²-2ty-2b=0…（2分）
于是，y₁、y₂是此方程的两实根，由韦达定理得：y₁+y₂=2ty₁y₂=-2b…（3分）
x₁x₂=（ty₁+b）（ty₂+b）=t²y₁y₂+tb（y₁+y₂）+b²=b²…（4分）
又OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0…（5分）
∴b²-2b=0，又b≠0，
∴b=2…（6分）
故直线L：ty=x-2过定点C（2，0）…（8分）
②∵O（0，0），C（2，0），OE⊥CE…（9分）
∴点E的轨迹是以线段OC为直径的圆除去点O，…（11分）
故点E的轨迹方程为（x-1）²+y²=1（x≠0）…（12分）
说明：直线L的方程设为y=kx+b又没有讨论k不存在的情况扣（2分）；轨迹方程中没有限制     x≠0扣（1分）．

点评：本题考查恒过定点的直线，考查与直线有关的动点轨迹方程，考查韦达定理的应用，求得b的值是关键，也是难点，属于中档题．