Question

17．判断并证明函数f（x）=$\frac{1}{x-1}$在（1，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 容易判断f（x）在（1，+∞）上单调递减，根据减函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞1，然后作差，通分，从而证明f（x₁）＜f（x₂）便可得出函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．

解答 解：x增大时，$\frac{1}{x-1}$减小，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，证明如下：
设x₁＞x₂＞1，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{x}_{1}-1}-\frac{1}{{x}_{2}-1}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₂-x₁＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（1，+∞）上单调递减．

点评 考查减函数的定义，根据减函数的定义判断并证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．