Question

给定圆C：x²+y²=4，过点P（1，0）作两条互相垂直的直线与C分别交于A、B和M，N，则

|AB|

|MN|

+

|MN|

|AB|

的最大值是

7 3

6

．

Answer 1

分析：由圆C的方程找出圆心C的坐标和半径r，设出直线AB的斜率为k，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，得到直线MN的斜率为-

1

k

，由两直线都过P点，进而分别表示出两直线的方程，利用点到直线的距离公式分别求出圆心到两直线的距离d₁和d₂，由垂径定理得到垂足为中点，由弦心距，半径，利用勾股定理求出弦的一半，进而表示出|AB|和|MN|，得出|AB|²+|MN|²的值为定值，再表示出|MN|•|AB|，变形后求出|MN|•|AB|的最小值，把所求的式子通分后，将求出的|AB|²+|MN|²的值及|MN|•|AB|的最小值代入，即可求出所求式子的最大值．

解答：解：由圆的方程x²+y²=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
设直线AB的方程为：y=k（x-1），即kx-y-k=0，
则直线MN的方程为：y=-

1

k

（x-1），即x+ky-1=0，
∴圆心到直线AB的距离d₁=

|k|

1+k2

，到直线MN的距离d₂=

1

1+k2

，
∴|AB|=2

r2-d12

=2

4+3k2 1+k2

，|MN|=2

r2-d22

=2

3+4k2 1+k2

，
∵|MN|•|AB|=4

4+3k2 1+k2 • 3+4k2 1+k2

=4

12(K4+2K2+1)  +K2 K4+2K2+1

=4

12+ K2 K4+2K2+1

≥4

12

=8

3

，
∴（|MN|•|AB|）_min=8

3

，
∵|AB|²+|MN|²=4（

4+3k2

1+k2

+

3+4k2

1+k2

）=

28(1+k2)

1+k2

=28，
∴

|AB|

|MN|

+

|MN|

|AB|

=

|AB|2+|MN|2

|MN|•|AB|

=

28

|MN|•|AB|

，
当（|MN|•|AB|）_min=8

3

时，
则（

|AB|

|MN|

+

|MN|

|AB|

）_max=

28

8 3

=

7 3

6

．
故答案为：

7 3

6

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，直线的一般式方程，以及圆的标准方程，其中得出|AB|²+|MN|²的值为定值，同时求出|MN|•|AB|的最小值是解本题的关键．