Question

设关于x的函数f（x）=4^x-2^x+1-b（b∈R），
（1）若函数有零点，求实数b的取值范围；
（2）当函数有零点时，讨论零点的个数，并求出函数的零点．

Answer 1

分析：（1）原函数零点即方程）=4^x-2^x+1-b=0 的根．化简可得 b=4^x-2^x+1=（2^x-1）²-1≥-1，由此可得b的范围．
（2）分①当b=-1 时，②当 0＞b＞-1 时，③当b≥0时，④当b＜-1时四种情况，分别由条件求得2^x 的值，求得x的值，从而得出结论．

解答：解：（1）原函数零点即方程）=4^x-2^x+1-b=0 的根．
化简方程为b=4^x-2^x+1=2^2x-2•2^x=（2^x-1）²-1≥-1，
故当b的范围为[-1，+∞）时函数存在零点．
（2）①当b=-1 时，2^x=1，∴方程有唯一解x=0．
②当 0＞b＞-1 时，∵（2^x-1）²=1+b＞0，可得 2^x=1+

1+b

，或2^x=1-

1+b

，
解得 x=log2(1+

1+b

)，或x=log2(1-

1+b

)，故此时方程有2个解．…（9分）
③当b≥0时，∵（2^x-1）²=1+b＞1，可得 2^x=1+

1+b

，或2^x=1-

1+b

（舍去），
解得 x=log2(1+

1+b

)，故此时方程有唯一解．
④当b＜-1时，∵（2^x-1）²=1+b＜0，2^x 无解，原方程无解．
综上可得，1）当-1＜b＜0时原方程有两解：x=log2(1+

1+b

)，或x=log2(1-

1+b

)；
2）当 b≥0 时，方程有唯一解 x=log2(1+

1+b

)，当b=-1 时，原方程有唯一解 x=0；
3）当b＜-1 时，原方程无解．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了等价转化和数形结合的数学思想，属于中档题．