Question

定义域在R上的函数f（x）满足：①f（x+2）是奇函数；②当x≥2时，f′（x）≥0．又＜x₁+x₂＜4，则f（x₁）+f（x₂）的值

1. A.
   恒小于0
2. B.
   恒大于0
3. C.
   恒大于等于0
4. D.
   恒小于等于0

Answer 1

D
分析：根据题目给出的函数f（x+2）是奇函数，可知道函数f（x）的对称中心为（0，0），再根据当x≥2时，f′（x）≥0，知除特殊情况外函数f（x）在（2，+∞）上为增函数，不等式
＜x₁+x₂＜4可得到x₁与x₂的大体位置，且能判处离2的远近，最后根据奇函数对称性得到结论．
解答：由f（x+2）是奇函数，知函数f（x+2）的对称中心为（0，0），所以函数f（x）的对称中心为（2，0），且f（2）=0．
若f（x）=0，满足：①f（x+2）是奇函数；②当x≥2时，f′（x）≥0，此时f（x₁）+f（x₂）的值等于0；
若f（x）≠0，再由当x≥2时，f′（x）≥0，知f（x）在（2，+∞）上为增函数，因为f（2）=0，所以在（2，+∞）上有f（x）＞0，根据对称性知，在（-∞，0）上有f（x）＜0．
由＜x₁+x₂＜4，得（x₁-2）+（x₂-2）＜0，且（x₁-2）（x₂-2）＜0，所以有x₁-2与 x₂-2异号，且负数的绝对值大于正数，也就是x₁，x₂在2的两侧，且左侧的离2要远，
所以f（x₁）+f（x₂）的值恒小于0．
综上，f（x₁）+f（x₂）的值恒小于等于0．
故选D．
点评：本题考查了利用导函数研究函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性和平移性质，由不等式得到（x₁-2）+（x₂-2）＜0，且（x₁-2）（x₂-2）＜0则体现了学生的灵活思维能力．