Question

用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.66²=7.0756，3.34²=11.1556）

Answer 1

【答案】分析：设出底面边长为2x，用x表示出三棱柱的底面的腰长，三棱柱的高，从而得到三棱柱的体积与x的函数关系是解决本题的关键，可以利用导数为工具确定出最大容积时候的x的值，实现该问题的解答．
解答：解：设容器底面等腰三角形的底边长为2xm，则腰长为（x+1）m，
高为，
设容器的容积为Vm³，底面等腰三角形底边上的高为
=，
，
令V′=0，得x²-2.66x-1.02=0，（x-3）（x+0.34）=0，由x＞0，解得x=3
当0＜x＜3时V′＞0；3＜x＜5.1时，V′＜0，因此，当x=3时，V有最大值．
答：容器的底面等腰三角形的底边长为6m，腰长为4m，容器的高为5.6m时容器的体积最大．
点评：本题考查函数的模型思想和意识，考查设未知数表示函数关系的思想，注意实际问题函数的定义域，依据给出的函数表达式利用导数为工具确定所给函数的最值，考查学生的导数工具意识．