Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=BC=1，AD=2，M为PD中点．
（ I ） 求证：MC∥平面PAB；
（Ⅱ）在棱PD上找一点Q，使二面角Q-AC-D的正切值为

2

2

．

Answer 1

分析：（1）欲证MC∥平面PAB，根据线面平行的判定定理可知只需在平面PAB中找一直线与MC平行即可，取PA的中点E，连接BE、EM，根据EM与BC平行且相等，则MC∥BE，又MC?面PAB，BE⊆面PAB，满足定理所需条件；
（2）过Q作QF∥PA交AD于F，作FH⊥AC，H为垂足．连接QH则∠QHF是二面角Q-AC-D的平面角，然后根据二面角Q-AC-D的正切值为

2

2

建立等式关系，解之即可求Q在棱PD上的位置．

解答：解：（1）取PA的中点E，连接BE、EM，则EM与BC平行且相等，∴四边形BCME是平行四边形．∴MC∥BE，
又MC?面PAB，BE⊆面PAB，∴MC∥平面PAB…（6分）
（2）如图过Q作QF∥PA交AD于F，
∴QF⊥平面ABCD．作FH⊥AC，H为垂足．连接QH∴∠QHF是二面角Q-AC-D的平面角．
设AF=x，∴AH=FH=

2

2

x，FD=2-x．又

QF

PA

=

FD

AD

，∴QF=

2-x

2

，
在Rt△QFH中，tan∠QHF=

QF

FH

=

2-x 2

2 x 2

=

2

2

，∴x=1．
当Q为棱PD中点时，二面角Q-AC-D的正切值为

2

2

．…（12分）

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及二面角的度量，同时考查了空间想象能力和论证推理的能力，属于中档题．