Question

设双曲线C的中心在原点，它的右焦点是抛物线的焦点，且该点到双曲线的一条准线的距离为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于两点A、B，试问：
（1）当k为何值时，以AB为直径的圆过原点；
（2）是否存在这样的实数k，使A、B关于直线y=ax对称（a为常数），若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵抛物线的焦点为，（1分）
∴设中心在原点，右焦点为的双曲线C的方程为．
∵到双曲线的一条准线的距离为，
∴．（2分）
∴．∴．（3分）
∴双曲线C的方程为3x²-y²=1．（4分）
（Ⅱ）（1）由得（3-k²）x²-2kx-2=0．（5分）
由得．①（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵OA⊥OB，∴y₂y₁+x₂x₁=0，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1．（9分）
∴（kx₁+1）（kx₂+1）+x₁x₂=0．即x₁x₂（1+k²）+k（x₁+x₂）+1=0．②
将，，代入②，解得k=±1，满足①．
∴k=±1时，以AB为直径的圆过原点．（10分）
（2）假设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称（a为常数），
则由④、⑤得a（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）+2．（12分）
将代入上式，得2ak=6，∴ak=3．与③矛盾．（13分）
∴不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．（14分）
分析：（I）求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的准线方程，利用双曲线中a，b，c的关系求出双曲线方程．
（II）（1）将直线与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两交点坐标满足的条件；注意判别式大于0求出斜率的范围；
将以AB为直径的圆过原点转化为OA⊥OB即，将韦达定理代入向量等式求出k．
（2）利用两点关于直线对称满足两点的中点在直线上；两点连线与对称轴垂直列出方程组，将韦达定理代入得到a，k关系．判断出是否存在．
点评：本题考查双曲线中参数a，b，c的关系、考查解决直线与圆锥曲线的位置关系常将它们的方程联立，利用韦达定理处理、
处理两点关于直线对称的问题常借用两点的中点在对称轴上；两点连线与对称轴垂直．