Question

已知抛物线S的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线方程为l：4x+y-20=0．
（1）求抛物线S的方程；
（2）若M（m，3）在抛物线S的准线上，过点M的直线与抛物线在第一象限的切点为N，记F为抛物线S的焦点，求直线NF的斜率．
（注：△ABC重心：G（

xA+xB+xC

3

，

yA+yB+yC

3

））

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设抛物线S的方程为y²=2px，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合直线l与抛物线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，结合根与系数的关系利用重心公式即可求得p值，从而解决问题．
（2）求出N的坐标，再求直线NF的斜率．

解答： 解：（1）设抛物线S的方程为y²=2px．
4x+y-20=0与抛物线联立，可得2y²+py-20p=0．
由△＞0，有p＞0，或p＜-160．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

p

2

，
∴x₁+x₂=10+

p

8

设A（x₃，y₃），由△ABC的重心为F（

p

2

，0），
则利用重心坐标公式可得x₃=

11p

8

-10，y₃=

p

2

∵点A在抛物线S上，
∴(

p

2

)2=2p（

11p

8

-10），
∴p=8．
∴抛物线S的方程为y²=16x；
（2）抛物线S的准线方程为x=-4，M（m，3）在抛物线S的准线上，
∴M（-4，3），
设N（a，b），则由y²=16x可得y=4

x

，∴y′=

2

x

，
∴k_MN=

2

a

，
∵k_MN=

b-3

a+4

，
∴

4 a -3

a+4

=

2

a

，
∴

a

=

3+3 7

4

，
∴N（

36+9 7

8

，3+9

7

），
∴直线NF的斜率为

8(555-9 7 )

551

．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，确定抛物线的方程是关键．